MAT II LÍMITES DE UNA FUNCIÓN

Límites en un  punto

Se dice que la funcion y = f(x) tiene como limite el numero L, cuando x tiende a x₀ si, para cualquier e , mayor que cero, existe un numero positivo d, tal que, para todos los x distintos de x₀ que cumplen la condicion [ x - x₀]< d, se cumple que  [f(x) - L]   < e.
Una función y = f(x) tiene limite en el punto x₀, si y solo si, los limites de la función existen y son iguales cuando x tiende a x₀ por la derecha y por la izquierda.

 Límites en el infinito
La función y = f(x) tiene un limite L cuando x tiende a +infinito o x tiende a -infinito, si para cualquier e, mayor que cero, es posible encontrar un N, mayor que cero, tal que, para todos los valores de x que cumplen la condicion [x]> N, se cumple que [f(x) - L] < e.

Indeterminaciones

A veces al calcular el límite de una función nos sale una indeterminación.

Las indeterminaciones son:
( ∞ -  ∞)
(∞ / ∞ )
(0 / 0)
(0 * ∞ )
(0⁰)
(∞ ⁰)

Es evidente que el símbolo ∞ representa un número muy grande pero ya no es tan evidente que los números cero y uno que aparecen en estas expresiones no son exactamente estos números si no números infinitamente próximos a ellos. Por eso, un número infinitamente próximo a 1 elevado a un número infinitamente grande es una indeterminación.
Cuando el resultado de una expresión es una indeterminación tenemos que ingeniarnoslas (haciendo operaciones que no alteren la expresión) para deshacer la indeterminación.
-Si la indeterminacion es del tipo ∞ / ∞ se resuelve dividiendo numerador y denominador por la incognita elevada a mayor grado.
Ejemplo: lim (4x² + 5) / (5x³-3) = 0
-Si es del tipo ∞ - ∞ se resuelve con (a+b)(a-b).
Ejemplo: Lim Ö (x² + 5) - Ö (x² - 8) = lim (x² + 5 - x² - 8)/ Ö (x² + 5) + Ö (x² - 8) = 0 / 1 = 0 -Si es 1∞ se resuelve con el numero e = (1+1/a)^a.
Ejemplo: Lim (1 + 1 / x²)^x = lim [(1 + 1/x²)^{x^2}]^1/x = e⁰ = 1