DIB CURVAS CÓNICAS: HIPÉRBOLA

LA HIPÉRBOLA:
Definición: La hipérbola es el conjunto de puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos es una cantidad constante: 2a.
Aunque no es fácil encontrar objetos en forma de hipérbola, esta curva es importante porque es necesaria para explicar ciertos fenómenos: la proporcionalidad inversa, ley de Boule.Mariotte, etc. Elementos de la hipérbola.
En la hipérbola se distinguen los siguientes elementos:

- Los radio vectores de un punto P son los segmentos PF y PF´.
-El eje focal es la recta que pasa por los focos F y F´.
-El eje secundario es la mediatriz del segmento F´F.
-El centro de la hipérbola es el punto O en el que se cortan los ejes. Es el centro de simetría. Y los ejes son sus ejes de simetría.
-La distancia focal es el segmento F´F, cuya longitud es 2c.
-Los vértices son los puntos A y A´, puntos de corte del eje focal con la hipérbola y B y B´, puntos de corte del eje secundario con la circunferencia de centro A y radio c = OF.
-El eje trasverso o eje real es el segmento AA´.
-El eje no trasverso o eje imaginario es el segmento BB´.

Longitudes de los ejes.
Se puede comprobar que el eje real AA´mide 2a luego OA = OA´ = a
De igual forma se toma como longitud del eje imaginario BB´ 2b, luego OB = OB´ = b.
Y la distancia focal es FF´ = 2c.

Relación entre a, b y c.
Observando la figura del enlace: Hipérbola, ejes y excentricidad, los lados del triángulo rectángulo OAB verifican que a (cateto) es menor que c (hipotenusa).
La relación pitagórica entre estos segmentos es: c2 = a2 + b2.

Excentricidad.
Observando varias hipérbolas se ve que unas tienen la rams más abiertas que otras. Esta característica de ser más abierta o más cerrada se mide con un número llamado excentricidad (e), que es el cociente de c entre a: e = c / a , con c>a.

Como c>a, se deduce que la excentricidad de la hipérbola es un número mayor que1.

Si e tiende a 1, c tiende al valor de a y las ramas se cierran cada vez más. Por el contrario, cuanto mayor es la excentricidad, más se van abriendo las ramas de la hipérbola. Ver gráficas en enlace superior.
Asíntotas de la hipérbola.
Si se dibuja una hipérbola y varias rectas que pasen por el origen se llega enseguida a la conclusión de que hay dos tipos de rectas:

- Las que cortan a la hipérbola en dos puntos.
- Las que no cortan a la hipérbola.

Además, ambos tipos de rectas se agrupan formando dos haces separados de rectas. A las rectas que sirven de frontera entre ambos haces se les llama asíntotas.

Para trazar las asíntotas de la hipérbola se traza primero el rectángulo de lados paralelos a los ejes y que tiene por dimensiones 2a y 2b, y cuyo centro es el centro de la hipérbola. Después se trazan las diagonales del rectángulo que son las asíntotas de la hipérbola. En conclusión:

Las asíntotas de la hipérbola son dos rectas a las que la curva se acerca indefinidamente sin llegar a tocarlas.
La tangente a la hipérbola y los espejos hiperbólicos.
En la hipérbola de abajo se ha trazado una recta tangente en el punto P. La tangente a la hipérbola en cualquier punto tiene la siguiente propiedad:

La recta tangente en un punto P es bisectriz del ángulo que forman los radio vectores de ese punto.

Esta propiedad se utiliza en los espejos hiperbólicos. Los rayos emitidos desde un foco de un hipérbola se reflejan enla rama más alejada de dicho foco y salen de la hipérbola como si fuesen emitidos por el otro foco.