MAT II HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS

Aunque muchos matemáticos griegos vivieron durante bastante tiempo en Egipto y Mesopotamia, y de sus culturas aprendieron casi todo en un principio, hicieron algo radicalmente original para las matemáticas: convertirlas en una ciencia racional; es decir, en una ciencia deductiva, rigurosa, erigida sobre verdades evidentes.
Escuela jónica
La escuela jónica, con Tales de Mileto (cuyo nombre lleva un importante teorema de geometría elemental, el Teorema de Tales), fue la primera en comenzar la deducción matemática, hacia el año 600 aC.
Sobre Tales de mileto no se tienen referencias escritas de su obra y sobre los otros miembros de Mileto, de Anaxímenes se ha perdido todo y de Anaximandro sólo se conserva un pequeño fragmento. Principalmente se ocuparon de temas relacionados con la naturaleza. Tales admitía que el comienzo de todo era el agua, para Anaxímenes era el aire y para Anaximandro el fin o arjé era infinito.  


Escuela pitagórica
La escuela pitagórica o itálica, fundada por Pitágoras hacia la mitad del siglo VI aC, fue una asociación de iniciados. Su instituto central de Crotona, en el golfo de Tarento, fue destruido a principios del siglo V aC por razones político-religiosas. Sin embargo, la asociación sobrevivió durante mucho tiempo, primero en Grecia y luego en Alejandría. En un siglo y medio los pitagóricos elaboraron un primer grupo de cuatro disciplinas matemáticas (el quadrivium de Arquitas de Tarento): la aritmética, la música (o aritmética de los intervalos musicales), la geometría plana y la astronomía o geometría esférica.
La escuela pitagórica cultivaba una doctrina del conocimiento fundada sobre una determinada concepción del número, a la vez número entero y factor de estructura. Según algunos pitagóricos, todo ente tenía su número, sin el conocimiento del cual el ente no podía ser conocido ni mucho menos comprendido. Según esta doctrina, todas las razones de magnitudes debían ser razones de números enteros.

Escuela de Elea
Estos puntos de vista fueron combatidos por la escuela de Elea, y su crítica tomó la forma de las célebres paradojas de Parménides y de Zenón. El descubrimiento de las relaciones inconmensurables, tales como la diagonal del cuadrado, tomando como unidad el lado, y la de la sección aúrea, fue para los pitagóricos un golpe decisivo.
Las dificultades ligadas a la existencia de los inconmensurables fueron superadas por la teoría de las proporciones de Eudoxo, que fue un modelo de rigor matemático. Sobrepasada de este modo la doctrina de los pitagóricos y su mística de los números, se abrió paso la concepción platónica de las matemáticas y la doctrina de las ideas.
A principios del siglo III aC aparecieron en Alejandría los Elementos de Euclides. Fundada en el año 331 a. C., Alejandría se convirtió rápidamente en el centro de la cultura helénica. Allí se acogieron casi la totalidad de los que tuvieron nombre y lugar en las ciencias matemáticas griegas, desde Euclides a Diofanto, Papo y Proclo. La importancia de los Elementos fue enorme. Durante mucho tiempo fijaron el ideal del conocimiento verdadero y le dieron su estructura por medio del método axiomático. El método euclidiano comprende, en primer lugar, una teoría general de las magnitudes fundada sobre axiomas como, por ejemplo:
"Dos magnitudes iguales a una tercera son iguales entre sí."

La geometría euclidiana



La construcción de la geometría requirió, en segundo lugar, cierto número de postulados, el más célebre de los cuales es el de las paralelas, llamado todavía postulado de Euclides. Los Elementos, al demostrar que, sobre la base de los axiomas y de los postulados, puede construirse la geometría de un modo puramente deductivo, es decir, como conjunto de definiciones y de demostraciones que se desprenden las unas de las otras, precisaron y establecieron el método a seguir.

Durante ese mismo siglo III, la investigación geométrica de los griegos alcanzó su más alto grado de esplendor con Apolonio y Arquímedes de Siracusa. Se debe a Apolonio un gran tratado sobre las incógnitas e incluso, al parecer, un estudio de las epicicloides. Pero, sin ningún género de dudas, el mayor matemático de la antigüedad fue Arquímedes: el cálculo de π por aproximaciones sucesivas, la determinación de los volúmenes del cilindro y la esfera, la cuadratura del segmento de parábola, el empleo de los momentos estáticos y de los centros de gravedad abrieron, de hecho, el camino a la mecánica y al cálculo integral.


El método de Arquímedes

El método de Arquímedes se separa de la doctrina platónica. Al afán de la aplicación precisa añadió la investigación con extremo rigor científico. Estas dos inquietudes se encuentran, por una parte, por ejemplo, en la formulación del principio de la hidrostática, llamado todavía principio de Arquímedes, y por otra parte en la aplicación del método de agotamiento de Eudoxo al cálculo de áreas y volúmenes.

El ideal platónico era un ideal de contemplación de la verdad racional, prescindiendo de las aplicaciones técnicas. La ciencia de Arquímedes, en cambio, dio comienzo al tipo de conocimiento propio de la ciencia moderna. Esta misma casualidad de encuentra también en la ciencia alejandrina, con la cual Arquímedes tuvo ciertos contactos. Así, aparecen durante el siglo II aC la trigonometría plana esférica de Hiparco, el astrónomo, y, durante el siglo I, las investigaciones geométricas de Herón, el físico.

Deben citarse, finalmente, para marcar la continuidad del esfuerzo alejandrino, a Nicómaco y Menelao, en el siglo I; a Ptolomeo y su célebre sistema del mundo, en el siglo II; las investigaciones aritméticas de Diofanto y Papo sobre las razones anarmónicas, en el siglo III, y los Comentarios de Proclo sobre el libro primero de Euclides, en el siglo V.
Declinación

A partir de este momento, la ciencia helénica comienza a declinar. Se ha apuntado que Arquímedes y los matemáticos de Alejandría se habían separado de la doctrina platónica. Con los estoicos, la filosofía había seguido el mismo camino. Sin embargo, hacia la mitad del siglo III se inició un principio de acercamiento al fundarse la escuela filosófica y neoplatónica de Alejandría. Esta escuela se opuso al cristianismo por su hostilidad manifiesta a la actividad científica de los paganos, y en ella sobresalieron muchos científicos; entre los matemáticos, el más notable fue Proclo.